（2014秋•石嘴山校级期末）如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点．（1）设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα．（2）设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ．（3）在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由．","title_text":"（2014秋•石嘴山校级期末）如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点．（1）设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα．（2）设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ．（3）在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）四面体ABCD的棱长都相等；∴该四面体为正四面体；∴A在底面BCD的投影为底面BCD的中心；设△BCD的中心为O，过O作BC的平行线，分别交BD，CD于F，G，连接DO并延长，交BC于H，则：H为BC中点；∴OG⊥BC，OG⊥OE；连接AO，则AO⊥底面BCD；∴OH，OG，OA三直线两两垂直，∴分别以这三条直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设该正四面体棱长为2，则：A（0，0，263），B（33，-1，0），C（33，1，0），D（-233，0，0），H（33，0，0），E（-33，0，63）；连接AH，显然∠AHD为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角；且OH=33，OA=263；∴tanα=OAOH=22；（2）显然OA=(0，0，263)为底面BCD的法向量；CE=(-233，-1，63)；∴sinβ=|cos＜OA，CE＞|=43263•3=23；∴cosβ=73；（3）假设在直线BC上存在点F，使直线AF与CE所成角为90°，设F（33，y0，0），则：AF=(33，y0，-263)；直线AF与CE所成角为90°，即AF⊥CE；∴AF•CE=-2-y0-4=0；∴y0=-6；∴存在点F，使直线AF与CE所成角为90°，并且F点在CB延长线上，且FB=5．