再论光线的引力偏折，《张朝阳的物理课》讲解光的测地线方程

原标题：再论光线的引力偏折，《张朝阳的物理课》讲解光的测地线方程

此前物理课中演示了如何用测地线方程推算水星的运动轨迹，验证了广义相对论能解释水星近日点的反常进动。至此，广义相对论的实验验证——引力红移、光线的引力偏折和水星进动都在《张朝阳的物理课》上得到了演算。然而对于第二项实验，之前的课程是以光波的角度从惠更斯原理出发，通过坐标光速的梯度计算出波前的偏折，从而比较取巧地得到类似光学透镜的偏折效应。能否从更根本的测地线方程出发，从头算出这个偏折效应呢？

3月10日12时，《张朝阳的物理课》第二百零三期开播，搜狐创始人、董事局兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，再次运用测地线方程这一利器，详解光的引力偏折。

光的世界线线长为0，测地线方程需要新的仿射参量

1919年，爱丁顿带领两支团队分别来到位于西非的普林西比和巴西的索夫拉尔，以当时最先进的设备观测了当年5月29号的日全食。此时，太阳运行到了毕宿星团方向。爱丁顿团队仔细对比了日食时期太阳附近的毕宿星团的照片和平常时期的毕宿星团照片，发现在日食期间，太阳周围的星光发生了偏折，并且偏折的角度很符合广义相对论的预言。由此，爱因斯坦的广义相对论一战成名。

回顾广义相对论所用到的测地线方程

它描述了线上的坐标x^α对线长s的求导所得的切矢是不变的。这对于有质量粒子而言没有问题，它的时空间隔是类时的，世界线线元长度ds等于它自身的原时间隔dτ乘以-c，即-cdτ。但对于光子而言，它的时空间隔恒为零，属于类光间隔

这样的量显然不能作为求导的自变量。那么光的测地线方程又该如何定义呢？

为了解决这个问题，需要再回到测地线方程本身的推导。首先，要描述一条线上某点处的切矢，在不对切矢本身的长度做要求的情况下，只需要取该点临域内任意两点的坐标作差。这个坐标差，可记为

而如果希望切矢长度被归一化，就要再除以这两点间的长度ds。这个长度标量满足

除以这段线元长度后，得到归一化的切矢

测地线要求切矢沿着线平行移动，也即协变微分为0

对方程两边再除以ds，就是本节开头所写的测地线方程。

但原则上，切矢并不需要被归一化，只需要一个标量参数来描述切点在线上的移动就行。这个参数可以和线元长度无关，称为仿射参数，一般记为λ。

对于光子而言，它的世界线线元ds=0，这并不是说光在时空图上就不动了，而是因为时空度规含有负值，来自时间的间隔和来自空间的间隔相抵消了。虽然ds=0，但总可以构造一个标量λ，让微元dλ不为0，并用它来参数化光的世界线。借助这个仿射参量，就可以构造出适用于光的测地线方程

运用测地线方程，推导光的轨道方程

史瓦西度规为

其中史瓦西半径

和计算水星近日点的进动的流程一样，将史瓦西度规代入到测地线方程。对α=0和3的两个分量，方程的形式和上节课一模一样，可以凑成全微分为0的形式，从而得到守恒量E和L（注意这里换了求导参量，所以不再具有能量和角动量的含义）

对于α=2分量，可以选取坐标系的极轴，把光的运动限制在赤道面上

对于α=1分量，则不用硬代入测地线方程，而是用光的世界线线元为0的性质

得到

代入刚刚得到的α=0和3所对应的守恒量

整理一下得到

要求解的是r和Φ的关系，λ在这里只是起到一个中间参量的作用。为了突出待求解的r和Φ的关系，做变量替换

到这一步，就已经把和仿射参量λ有关的项统一用守恒量E和L替换掉了。接下来仿照牛顿引力下行星运动轨迹的求解套路，对方程再做一次比奈代换，令y=1/r，

这是一个一阶微分方程，一阶项y'=dy/dΦ带有一个平方，可以方便地转化为类似牛顿引力情形的二阶微分方程，只需要两边同时再对Φ求导

整理后，得到最终的轨道方程

用微扰近似求解轨道方程

现在来看看这个方程该如何求解。由于方程右侧出现了y的平方项，它不再是一个线性方程，难以严格求解。但本文所考虑的偏折光线的天体是太阳，对它而言，史瓦西半径大约是3km，而太阳本身的半径就有7×10⁵km。在光线经过太阳时，离太阳的距离更是要大于这个半径。所以可以认为方程右侧的平方项相比于y是一个小量

这样初步来看，方程的解应该很接近下面这个零级近似方程的解

这个方程就是谐振子方程，它的解已经相当熟悉了。如果选取Φ=0对应光子从无穷远处入射而来的方向，方程的解就是

这是一个直线在极坐标系下的方程，意味着光线完全不被偏折。其中参数A代表直线离原点的距离的倒数。下面重新考虑刚刚被忽略掉的小量，类比微扰论的思想，把这个小量当做对近似方程的微扰，用零级近似解的三角函数形式作为对原方程一级近似解的试探函数。首先，把零级近似解代入到轨道方程右侧的小量中，

这里出现了三角函数的平方项，所以在一级近似解中，也应该展开到三角函数的平方项。根据这样的考虑，一级近似解的试探函数可以写为

在上式中，之所以不包含cos²Φ，是因为它可以变换为1-sin²Φ，从而被吸收到第三项和第四项中。

接下来要考虑的是四个待定系数之间的关系。对于初始条件，仍然选取Φ=0对应光子无穷远的位置，这就要求

把一级近似的试探函数代入轨道方程的左侧，至于轨道方程的右侧，它是一个小量，所以仍然只代入零级近似解

利用倍角关系，可以把三角函数中角度变量含有2的倍数的项统一成平方项，得到

等式两边要对任意的Φ恒成立，就要求

综合所得到的三个关系式，可以把一级近似试探解写成

可以看到第二项是一个完全平方项，所以多了第二项后，y比牛顿引力的情况更大了。一方面，y→0的极限仍然可以在Φ→0处取到，另一方面，Φ=π时y是个大于0的有限值，这意味着光线出现了偏折。

在导出B+D=0这一关系时，已经蕴含了光线在Φ→0的角度入射这一条件。对于光的出射角，不妨在零级近似出射角π的基础上加上一个偏折角δ，记为Φ→π+δ，那么有

取δ的小角近似，并约掉一个A，

进一步地，由于r_sA=r_s/r_0是一个和δ同阶的一阶小量，所以对于(2-δ²/2)²只需要保留到零阶，这样就得到

这里需要额外补充一下对参数A的讨论。在零级近似解中，A代表轨迹离引力源最近距离的倒数。对于一级近似解，试探函数依然是在π/2附近取到y的极大值，也就是r的极小值，所以依然可以近似认为

于是，偏折角就可以写成

这个结果和之前用惠更斯原理所得到的结果一致。相比于经典牛顿引力的结论，广义相对论对光线偏折的预言大了1倍，这与爱丁顿团队观测日全食得到的星光偏移数据更加吻合，从而有力地证明了广义相对论的正确性。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。