如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．","title_text":"如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．

【答案】（1）连接AD，由于点D是的中点，根据圆周角定理知∠BAD=∠CAD，由垂径定理知，OD⊥BC根据垂直于同一条直线的两条直线平行知AE∥OD，由两直线平行，内错角相等知∠DAE=∠ODA，由等边对等角知∠DAO=∠ODA，∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，∴∠FAH=∠CAO；（2）过点O作OM⊥AC于M，由垂径定理知，AC=2AM，由于CF⊥AB∠BAC=60°∴AC=AF÷cos60°=2AF∴AF=AM在△AFH与△AMO中有∠FAH=∠CAO  AF=AM∠AFH=∠AMO，∴△AFH≌△AMO，∴AH=OA=OD，∴AH平行且等于OD，∴四边形AHDO为菱形．证明：（1）连接AD，∵点D是的中点，∴∠BAD=∠CAD，OD⊥BC，∵AE⊥BC，∴AE∥OD，∴∠DAH=∠ODA，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，∴∠FAH=∠CAO；（2）过点O作OM⊥AC于M，∴AC=2AM，∵CF⊥AB，∠BAC=60°，∴AC=2AF，∴AF=AM，在△AFH与△AMO中，∵∠FAH=∠CAO，AF=AM，∠AFH=∠AMO，∴△AFH≌△AMO，∴AH=OA，∵OA=OD，∴AH平行且等于OD．∴四边形AHDO是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵OA=OD，∴平行四边形AHDO是菱形（临边相等的平行四边形是菱形）