如图$C$为线段$AB$上一点分别以$AC$、$BC$为底在$AB$的同侧作顶角为$120^{\circ}$的等腰三角形$\triangle（ACD$、$\triangle CBE$以$AB$为底在$AB$的另一侧作顶角为$120^{\circ}$的等腰三角形$\triangle ABF$连接$DE$、$EF$、$FE$.求证：$\triangle DEF$是等边三角形.","title_text":"如图$C$为线段$AB$上一点分别以$AC$、$BC$为底在$AB$的同侧作顶角为$120^{\circ

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证明：延长$DC$交$BF$于$H$，连接$HE$，如图。

$because CE=BE$，$angle CEB=120^{circ}$，$therefore angle ECB=angle EBC=30^{circ}$。

同理：$angle DAC=angle DCA=30^{circ}$，$angle FAB=angle FBA=30^{circ}$，$therefore angle DCA=angle EBA=angle FAB$。

$therefore DC$∥$BE$∥$AF$，同理$AD$∥$CE$∥$BF$，$therefore $四边形$ADHF$、四边形$CEBH$是平行四边形。

$therefore EC=BH$，$AD=FH=CD$，$because EC=BE$。

$therefore BE=BH$，$because angle HBE=angle CBE+angle FBC=30^{circ}+30^{circ}=60^{circ}$，$therefore triangle BEH$是等边三角形。

$therefore BE=BH=EH=CE=CH$，$angle ECH=angle EBH=60^{circ}=angle EHF$，$therefore angle DCE=angle FHE=120^{circ}$。

在$triangle DEC$和$triangle FEH$中，$left{begin{array}{l}{DC=EF}{∠DCE=∠FHE}{CE=EH}end{array}right.$，$therefore triangle DEC$≌$triangle FEHleft(SASright)$。

$therefore DE=EF$，$angle DEC=angle FEH$，$therefore angle DEF=angle CEH=60^{circ}$。

$therefore triangle DEF$是等边三角形.。

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