如图点\(P\)为正方形\(ABCD\)内一点且\(∠APB=90^{\circ}\)延长\(AP\)交直线\(CD\)于\(M\)分别延长\(CP\)、\(DP\)交直线\(AB\)于点\(E\)、\(F\)（\((1)\)求证：\( \dfrac {AE}{CM}= \dfrac {AF}{DM}\)； \((2)\)求证：\(EF^{2}=AF⋅BE\)； \((3)\)若\(E\)为\(AB\)的中点直接写出\(\tan ∠APD\)的值．","title_text":"如图点\(P\)为正方形\

想必现在有很多小伙伴对于如图，点\(P\)为正方形\(ABCD\)内一点，且\(∠APB=90^{\circ}\)，延长\(AP\)交直线\(CD\)于\(M\)，分别延长\(CP\)、\(DP\)交直线\(AB\)于点\(E\)、\(F\) \((1)\)求证：\( \dfrac {AE}{CM}= \dfrac {AF}{DM}\)； \((2)\)求证：\(EF^{2}=AF⋅BE\)； \((3)\)若\(E\)为\(AB\)的中点，直接写出\(\tan ∠APD\)的值．","title_text":"如图，点\(P\)为正方形\(ABCD\)内一点，且\(∠APB=90^{\circ}\)，延长\(AP\)交直线\(CD\)于\(M\)，分别延长\(CP\)、\(DP\)交直线\(AB\)于点\(E\)、\(F\) \((1)\)求证：\( \dfrac {AE}{CM}= \dfrac {AF}{DM}\)； \((2)\)求证：\(EF^{2}=AF⋅BE\)； \((3)\)若\(E\)为\(AB\)的中点，直接写出\(\tan ∠APD\)的值．方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，点\(P\)为正方形\(ABCD\)内一点，且\(∠APB=90^{\circ}\)，延长\(AP\)交直线\(CD\)于\(M\)，分别延长\(CP\)、\(DP\)交直线\(AB\)于点\(E\)、\(F\) \((1)\)求证：\( \dfrac {AE}{CM}= \dfrac {AF}{DM}\)； \((2)\)求证：\(EF^{2}=AF⋅BE\)； \((3)\)若\(E\)为\(AB\)的中点，直接写出\(\tan ∠APD\)的值．","title_text":"如图，点\(P\)为正方形\(ABCD\)内一点，且\(∠APB=90^{\circ}\)，延长\(AP\)交直线\(CD\)于\(M\)，分别延长\(CP\)、\(DP\)交直线\(AB\)于点\(E\)、\(F\) \((1)\)求证：\( \dfrac {AE}{CM}= \dfrac {AF}{DM}\)； \((2)\)求证：\(EF^{2}=AF⋅BE\)； \((3)\)若\(E\)为\(AB\)的中点，直接写出\(\tan ∠APD\)的值．方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

((1))在正方形(ABCD)中， (AF/!/DM)， (∴triangle AEP)∽(triangle MCP)。

(triangle AFP)∽(triangle MDP) (∴ dfrac {AE}{CM}= dfrac {AP}{PM})，( dfrac {AP}{PM}= dfrac {AF}{PM})， (∴ dfrac {AE}{CM}= dfrac {AP}{PM}= dfrac {AF}{DM})。

(∴ dfrac {AE}{CM}= dfrac {AF}{DM})， ((2))延长(BP)交(CD)于点(N)， (∵EF/!/CD)。

(∴triangle EFP)∽(triangle CDP)， (∴ dfrac {EF}{CD}= dfrac {PE}{PC})， (∵BE/!/CN)。

(∴triangle EBP)∽(triangle CNP)， (∴ dfrac {BE}{CN}= dfrac {PE}{PC})， (∴ dfrac {EF}{CD}= dfrac {BE}{CN})。

即( dfrac {EF}{BE}= dfrac {CD}{CN})， 同理可证：( dfrac {AF}{DM}= dfrac {PF}{PD})，( dfrac {EF}{CD}= dfrac {PF}{PD})。

(∴ dfrac {AF}{DM}= dfrac {EF}{CD})， 即( dfrac {AF}{EF}= dfrac {DM}{CD})， (∵∠APB=∠BPM=BCM=90^{circ})。

(∴∠NBC=∠AMD)， (∴triangle BNC)∽(triangle MAD)， (∴ dfrac {CN}{BC}= dfrac {AD}{DM})(∵AD=BC=CD)。

(∴ dfrac {CN}{CD}= dfrac {CD}{DM})， (∴ dfrac {EF}{BE}= dfrac {AF}{EF})， (∴EF^{2}=AF⋅BE)； ((3))连接(AN)由((2))可知。

(∠PNM=∠DAM)， (∴A)、(P)、(N)、(D)四点共圆， (∴∠APD=∠AND)。

设(BF=x)，(AB=2)， 由((2))可知：(EF^{2}=AF⋅BE)。

(∴(1+x)^{2}=(2+x))， (∴x=- dfrac {1}{2}± dfrac { sqrt {5}}{2})， (∵x > 0)。

(∴x= dfrac { sqrt {5}-1}{2})， (∵ dfrac {BF}{DN}= dfrac {BP}{PN}= dfrac {EB}{CN})， (∴ dfrac {BF}{DN}= dfrac {EB}{CD-DN})。

(∴DN=3- sqrt {5})， (∴)在(Rttriangle ADN)中， (tan ∠AND= dfrac {AD}{DN}= dfrac {2}{3- sqrt {5}}= dfrac {3+ sqrt {5}}{2})。

(∴tan ∠APD=tan ∠AND= dfrac {3+ sqrt {3}}{2})． 。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。