如图所示我校计划在汉东中学操场北修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的喷水区域是半径为$5m$的圆.问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置才能使花坛的面积最大且能全部喷到水（","title_text":"如图所示我校计划在汉东中学操场北修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的喷水区域是半径为$5m$的圆.问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置才能使花坛的面积最大且能全部喷到水）

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设花坛的长、宽分别为$xm$，$ym$，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界.

依题意得：$left(dfrac{x}{4}right)^{2}+left(dfrac{y}{2}right)^{2}=25$，$left(x gt 0,y gt 0right)$

问题转化为在$x gt 0$，$y gt 0$，$dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=100$的条件下，求$S=xy$的最大值.

$because S=xy=2cdot dfrac{x}{2}cdot yleqslant left(dfrac{x}{2}right)^{2}+y^{2}=100$，

由$dfrac{x}{2}=y$和$dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=100$及$x gt 0$，$y gt 0$得：$x=10sqrt {2}$，$y=5sqrt {2}therefore S_{max }=100$

答：花坛的长为$10sqrt {2}m$，宽为$5sqrt {2}m$，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求.

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