如图在边长为$4$的正方形$ABCD$中点$E$为对角线$AC$上一动点（点$E$与点$A$、$C$不重合)连接$DE$作$EF\bot（DE$交射线$BA$于点$F$过点$E$作$MN$∥$BC$分别交$CD$、$AB$于点$M$、$N$作射线$DF$交射线$CA$于点$G$.$(1)$求证：$EF=DE$；$(2)$当$AF=2$时求$GE$的长.","title_text":"如图在边长为$4$的正方形$ABCD$中点$E$为对角线$AC$上一动点（点$E$与点$A$、$C$不重合)连接$DE$作$EF\bot DE$交射线$BA$于点$F$过点$E$作$MN$∥$BC$分别交$CD$、$AB$于点$M$、$N$作射线$DF$交射线$CA$于点$G$.$(1)$求证：$EF=DE$；$(2)$当$AF=2$时求$GE$的长.）

想必现在有很多小伙伴对于如图，在边长为$4$的正方形$ABCD$中，点$E$为对角线$AC$上一动点（点$E$与点$A$、$C$不重合)，连接$DE$，作$EF\bot DE$交射线$BA$于点$F$，过点$E$作$MN$∥$BC$分别交$CD$、$AB$于点$M$、$N$，作射线$DF$交射线$CA$于点$G$.$(1)$求证：$EF=DE$；$(2)$当$AF=2$时，求$GE$的长.","title_text":"如图，在边长为$4$的正方形$ABCD$中，点$E$为对角线$AC$上一动点（点$E$与点$A$、$C$不重合)，连接$DE$，作$EF\bot DE$交射线$BA$于点$F$，过点$E$作$MN$∥$BC$分别交$CD$、$AB$于点$M$、$N$，作射线$DF$交射线$CA$于点$G$.$(1)$求证：$EF=DE$；$(2)$当$AF=2$时，求$GE$的长.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在边长为$4$的正方形$ABCD$中，点$E$为对角线$AC$上一动点（点$E$与点$A$、$C$不重合)，连接$DE$，作$EF\bot DE$交射线$BA$于点$F$，过点$E$作$MN$∥$BC$分别交$CD$、$AB$于点$M$、$N$，作射线$DF$交射线$CA$于点$G$.$(1)$求证：$EF=DE$；$(2)$当$AF=2$时，求$GE$的长.","title_text":"如图，在边长为$4$的正方形$ABCD$中，点$E$为对角线$AC$上一动点（点$E$与点$A$、$C$不重合)，连接$DE$，作$EF\bot DE$交射线$BA$于点$F$，过点$E$作$MN$∥$BC$分别交$CD$、$AB$于点$M$、$N$，作射线$DF$交射线$CA$于点$G$.$(1)$求证：$EF=DE$；$(2)$当$AF=2$时，求$GE$的长.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

$(1)$证明：$because $四边形$ABCD$是正方形，$AC$是对角线，$therefore angle ECM=45^{circ}$。

$because MN$∥$BC,angle BCM=90^{circ}$，$therefore angle NMC+angle BCM=180^{circ}$，$angle MNB+angle B=180^{circ}$。

$therefore angle NMC=90^{circ}$，$angle MNB=90^{circ}$，$therefore angle MEC=angle MCE=45^{circ}$。

$angle DME=angle ENF=90^{circ}$，$therefore MC=ME$，$because CD=MN$。

$therefore DM=EN$，$because DEbot EF$，$angle EDM+angle DEM=90^{circ}$。

$therefore angle DEF=90^{circ}$，$therefore angle DEM+angle FEN=90^{circ}$，$therefore angle EDM=angle FEN$。

在$triangle DME$和$triangle ENF$中$left{begin{array}{l}{∠EDM=∠FEN}{DM=EN}{∠DME=∠ENF}end{array}right.$，$therefore triangle DME$≌$triangle ENFleft(ASAright)$，$therefore EF=DE$；$(2)$如图$1$所示。

由（1）知$,triangle DME$≌$triangle ENF$，$therefore ME=NF$，$because $四边形$MNBC$是矩形。

$therefore MC=BN$，又$because ME=MC$，$AB=4$。

$AF=2$，$therefore BN=MC=NF=1$，$because angle EMC=90^{circ}$。

$therefore CE=sqrt{2}$，$because AF$∥$CD$，$therefore triangle DGC$∽$triangle FGA$。

$therefore frac{CD}{AF}=frac{CG}{AG}$，$therefore frac{4}{2}=frac{CG}{AG}$，$because AB=BC=4$。

$angle B=90^{circ}$，$therefore AC=4sqrt{2}$，$because AC=AG+GC$。

$therefore AG=frac{4sqrt{2}}{3}$，$CG=frac{8sqrt{2}}{3}$，$therefore GE=GC-CE=frac{8sqrt{2}}{3}-sqrt{2}=frac{5sqrt{2}}{3}$；如图$2$所示。

同理可得，$FN=BN$，$because AF=2$。

$AB=4$，$therefore AN=1$，$because AB=BC=4$。

$angle B=90^{circ}$，$therefore AC=4sqrt{2}$，$because AF$∥$CD$。

$therefore triangle GAF$∽$triangle GCD$，$therefore frac{AF}{CD}=frac{GA}{GC}$，即$frac{2}{4}=frac{AG}{AG+4sqrt{2}}$。

解得，$AG=4sqrt{2}$，$because AN=NE=1$。

$angle ENA=90^{circ}$，$therefore AE=sqrt{2}$，$therefore GE=GA+AE=5sqrt{2}$.综上所述：$GE$的长为：$frac{5sqrt{2}}{3}$。

$5sqrt{2}$.。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。