如图正方形$ABCD$所在平面与三角形$ABE$所在平面互相垂直且$EM=2MD$$BN=2NA$.$(1)$求证：$MN$∥平面$BEC$；$(2)$若$AE=2AB$$\angle（EAB=120^{\circ}$求直线$MN$与平面$CDE$所成的角的正弦值.","title_text":"如图正方形$ABCD$所在平面与三角形$ABE$所在平面互相垂直且$EM=2MD$$BN=2NA$.$(1)$求证：$MN$∥平面$BEC$；$(2)$若$AE=2AB$$\angle EAB=120^{\cir

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（1）证明：在$CE$上取一点$F$，使$EF=2FC$，连接$FB$。

$MF$.由已知，在$triangle EDC$中，$EM=2MD$。

$EF=2FC$$therefore MF$∥$CD$，且$MF=frac{2}{3}CD$.又在正方形$ABCD$中，$AB=3AN$。

$therefore BN=frac{2}{3}CD$且$BN$∥$CD.$$therefore MF$∥$BN$，且$MF=BN$.$therefore $四边形$BNMF$为平行四边形.$therefore MN$∥$BF.$又$MN$⊄平面$BEC$，$BFsubset $平面$BEC,therefore MN$∥平面$BEC$.$(2)$以$A$为坐标原点。

分别以$AB$、$AD$所在的直线为$y$轴、$z$轴，以过$A$垂直于$AB$的直线为$x$轴，建立如图所示的空间直角坐标系$A-xyz$.设$AB=1$。

则$Bleft(0,1,0right)$，$Cleft(0,1,1right)$，$Dleft(0,0,1right)$。

$E(sqrt{3}$，$-1,0)$，$M(frac{sqrt{3}}{3}。

-frac{1}{3}，frac{2}{3})$，$N(0$。

$frac{1}{3}$，$0)$，$therefore overrightarrow{MN}=(-frac{sqrt{3}}{3}。

frac{2}{3}，-frac{2}{3})$，$overrightarrow{DE}=(sqrt{3}$。

$-1,-1)$，$overrightarrow{DC}=left(0,1,0right)$.设平面$CDE$的一个法向量$overrightarrow{n}=left(x,y,zright)$，则$overrightarrow{DE}•overrightarrow{n}=overrightarrow{DC}•overrightarrow{n}=0$。

即$left{begin{array}{l}{sqrt{3}x-y-z=0}{y=0}end{array}right.$，不妨令$x=1$，得$overrightarrow{n}=(1$。

$0$，$sqrt{3})$，设直线$MN$与平面$CDE$所成的角为$theta $。

则$sin theta =|cos ＜overrightarrow{MN}，overrightarrow{n}＞|=frac{|-frac{sqrt{3}}{3}-frac{2sqrt{3}}{3}|}{2×sqrt{frac{11}{9}}}=frac{3sqrt{33}}{22}$.$therefore $直线$MN$与平面$CDE$所成的角正弦值为$frac{3sqrt{33}}{22}$.。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。