如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AB=2，AD=3，E为PB中点，F为CD中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求直线BF和平面PAD所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在点G，使∠AGC为钝角 若存在，求出PGPD的取值范围；若不存在说明理由．","title_text":"如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AB=2，AD=3，E为PB中点，F为CD中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2

【解答】解：（1）再取AB的中点为M，则由题意可得FM与AD平行且相等，而AD⊂平面PAD，FM不在平面PAD 内，故有FM∥平面PAD．再根据EM为△PAB的中位线可得EM∥PA，而PA⊂平面PAD，EM不在平面PAD 内，故有EM∥平面PAD．这样，在平面EFM中，有2条相交直线EM、FM都和平面PAD 平行，故有平面EFM∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）由题意可得FD和BM平行且相等，故FDMB为平行四边形，直线BF和平面PAD所成角即为DM和平面PAD所成角．求得DM=AM2+DM2=1+3=2，再求得边长为2的等边三角形PAB的高线PM=3，由侧面PAB⊥底面ABCD可得PM⊥平面ABCD，故△PMD为直角三角形，∴PD=PM2+MD2=7．在利用勾股定理可得PA⊥AD，∴AD⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB．过点M作MH⊥PA，则MH⊥平面PAD，故∠MDH为DG和平面PAD所成角．用面积法求得MH=32，直角三角形MDH中，sin∠MDH=MHMD=322=34．（3）当点G和点D重合时，∠AGC=90°，此时，PGPD=1．当点G从点D向点P运动时，∠AGC先是逐渐变大，后又逐渐变小，当OG⊥PD时，∠AGC最大，（O为AC的中点）．在线段PD上，取一点H，使OD=OH=72，则点G在线段DH上时（不含端点D、H）∠AGC为钝角．△PAB中，由PB=2、PD=7、BD=7，利用余弦定理求得cos∠PDB=57．△HOD中，由于OH=OD=72，设HD=x，由余弦定理可得 74=74+x2-2•72•x•cos∠PDB，解得x=577，∴PH=PD-x=277，PHPD=27．综上可得，∠AGC为钝角时，PHPD＜PGPD＜1，即 27＜PGPD＜1．