2013北京高考数学理科答案解析（2014北京高考数学真题(理科)及答案）

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  2014北京高考数学真题(理科)及答案

  2014北京高考数学真题（理科）

  一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

  1.已知集合，则（）

  A．B．

  C．D．

  2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）

  A．B．

  C．D．

  3.曲线，的对称中心（）

  A．在直线上B．在直线上

  C．在直线上D．在直线上

  4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

  A．7B．42C．210D．840

  5.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）

  A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件

  C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

  6.若满足且的最小值为，则的值为（）

  A．2B．

  C．D．

  7.在空间直角坐标系中，已知，若分别表示三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

  A．B．且

  C．且D．且

  8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）

  A．2B．3

  C．4D．5

  第二部分（非选择题共110分）

  二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

  9.复数．

  10.已知向量、满足，且,则．

  11.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为；渐近线方程为．

  12.若等差数列满足，则当时，的前项和最大．

  13.把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法

  有种．

  14.设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为．

  三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

  15.（本小题共13分）

  如图，在中，点在上，且，

  （I）求；

  （II）求的长．

  16（本小题共13分）

  李明在10场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：

  （1）从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过的概率；

  （2）从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率；

  （3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中命中次数，比较与的大小（只需要写出结论）

  17.（本小题共14分）

  如图，正方形的边长为2，分别为、的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点、

  （Ⅰ）求证：；

  （Ⅱ）若，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.

  18.（本小题共13分）

  已知函数

  （I）求证：；

  （II）若在上恒成立，求与的最大值与的最小值.

  19.（本小题共14分）

  已知椭圆

  （I）求椭圆的离心率；

  （II）设为坐标原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

  20（本小题共13分）

  对于数对序列，记，

  其中表示和两个数中最大的数，

  （1）对于数对序列，求，的值．

  （2）记为四个数中最小值，对于由两个数对，组成的数对序列

  和，试分别对和时两种情况比较和的大小．

  （3）在由个数对，组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值．（只需写出结论）

  参考答案

  一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

  1．C2．A3．B4．C5．D6．D7．D8．B

  二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

  9．10．11．；12．13．14．

  三、解答题（共6小题，共80分）

  15．（共13分）

  【解析】

  （1）

  （2）在中，

  即：

  解得：

  在中，

  16．（共13分）

  解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率为事件，

  由题可知，李明在该场比赛中命中率超过的场次有：

  主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场

  所以李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率．

  （2）设李明一场投篮命中率超过，一场命中率不超过的概率为事件，

  同理可知，李明主场命中率超过的概率，客场命中率超过的概率

  故．

  （3）．

  17．（共14分）

  【解析】

  （1）证明：

  （2）如图建立空间坐标系，各点坐标如下：

  设的法向量为，

  即，令得：

  又，

  直线与平面所成角为

  设,由则

  又

  18．（共13分）

  解：（1）证明：

  ∵，

  ∴，即在上单调递增，

  ∴在上的最大值为，

  所以．

  （2）一方面令，

  则，由（1）可知，

  故在上单调递减，从而，

  故，所以．

  令，则，

  当时，故在上单调递减，从而，

  所以恒成立．

  当时，在有唯一解，且，

  故在上单调递增，从而，

  即与恒成立矛盾，

  综上，故．

  19．（共14分）

  （1）椭圆的标准方程为：，故，则，故离心率；

  （2）由题可得，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，

  当时，已知，此时直线方程为或，

  原点到直线的距离均为，故满足直线与圆相切；

  当时，直线方程为，

  联立得，故或，

  联立得，

  由的对称性，那么不妨去点进行计算，于是直线方程为，

  原点到直线的距离，此时与圆相切；

  综上所述，直线与圆相切．

  20．（共13分）

  解：（1），；

  （2）当时，

  ；

  ；

  因为是中最小的数，所以，从而；

  当时，

  ；

  ；

  因为是中最小的数，所以，从而；

  综上，这两种情况下都有．

  （3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。