如图直线$l_{1}$：$y=ax-a$$l_{1}$与$x$轴交于点$B$直线$l_{2}$经过点$A\left(4,0\right)$直线$l_{1}$$l_{2}$交于点$C\left(2,-3\right)$.$(1)a=$______；点$B$的坐标为______；$(2)$求直线$l_{2}$的解析表达式；$(3)$求$\triangle（ABC$的面积；$(4)$在直线$l_{2}$上存在异于点$C$的另一点$P$使得$\triangle ABP$为等腰三角形请直接写出$P$点的横坐标 ",

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$left(1right)because $直线$l_{1}$，$l_{2}$交于点$Cleft(2,-3right)$.$therefore -3=2a-a$，$therefore a=-3$。

$therefore $直线$l_{1}$的解析式为：$y=-3x+3$，令$y=-3x+3=0$，$therefore x=1$。

$therefore $点$B$的坐标为$left(1,0right)$，故答案为：$-3$，$left(1,0right)$；$(2)$设直线$l_{2}$的解析表达式为$y=kx+b$。

代入点$A$、$C$的坐标得，$left{begin{array}{l}{4k+b=0}{2k+b=-3}end{array}right.$，$therefore left{begin{array}{l}{k=frac{3}{2}}{b=-6}end{array}right.$。

$therefore y=frac{3}{2}x-6$.$(3)because Aleft(4,0right),Cleft(2,-3right),Bleft(1,0right)$，$therefore S_{triangle ABC}=frac{1}{2}times 3times 3=frac{9}{2}$.$(4)because P$在直线$l_{2}$上，设$P(a$。

$frac{3a}{2}-6)$，$therefore PA=sqrt{(a-4)^{2}+(frac{3a}{2}-6)^{2}}$，$PB=sqrt{(a-1)^{2}+(frac{3a}{2}-6)}$。

$AB=3$，①$PA=PB$，$therefore sqrt{(a-4)^{2}+(frac{3a}{2}-6)^{2}}=sqrt{(a-1)^{2}+(frac{3a}{2}-6)}$。

化简得$-2a+1=-8a+16$，$therefore a=frac{5}{2}$.②$PA=AB$，$therefore sqrt{(a-4)^{2}+(frac{3a}{2}-6)^{2}}=3$。

化简得$13a^{2}-136a+172=0$，$therefore a=frac{52±6sqrt{13}}{13}$，③$PB=AB$。

$therefore sqrt{(a-1)^{2}+(frac{3a}{2}-6)^{2}}=3$，化简得$13a^{2}-80a+112=0$，$therefore a_{1}=4$。

$a_{2}=frac{28}{13}$，$because a=4$时$P$与$A$重合，故舍去.综上。

$P$点的横坐标为$frac{5}{2}$或$frac{52±6sqrt{13}}{13}$或$frac{28}{13}$.。

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