已知等边$\triangle（ABC$和$Rt\triangle DEF$按如图所示的位置放置点$B$、$D$重合且点$E$、$B\left(D\right)$、$C$在同一条直线上.其中$\angle E=90^{\circ}$$\angle EDF=30^{\circ}$$AB=DE=6\sqrt{3}$现将$\triangle DEF$沿直线$BC$以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移直至$E$点与$C$点重合时停止运动设运动时间为$t$秒.$(1)$试求出在平移过程中点$F$落在$\trian

想必现在有很多小伙伴对于已知等边$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$按如图所示的位置放置，点$B$、$D$重合，且点$E$、$B\left(D\right)$、$C$在同一条直线上.其中$\angle E=90^{\circ}$，$\angle EDF=30^{\circ}$，$AB=DE=6\sqrt{3}$，现将$\triangle DEF$沿直线$BC$以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移，直至$E$点与$C$点重合时停止运动，设运动时间为$t$秒.$(1)$试求出在平移过程中，点$F$落在$\triangle ABC$的边上时的$t$值；$(2)$试求出在平移过程中$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$重叠部分的面积$S$与$t$的函数关系式.","title_text":"已知等边$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$按如图所示的位置放置，点$B$、$D$重合，且点$E$、$B\left(D\right)$、$C$在同一条直线上.其中$\angle E=90^{\circ}$，$\angle EDF=30^{\circ}$，$AB=DE=6\sqrt{3}$，现将$\triangle DEF$沿直线$BC$以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移，直至$E$点与$C$点重合时停止运动，设运动时间为$t$秒.$(1)$试求出在平移过程中，点$F$落在$\triangle ABC$的边上时的$t$值；$(2)$试求出在平移过程中$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$重叠部分的面积$S$与$t$的函数关系式.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于已知等边$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$按如图所示的位置放置，点$B$、$D$重合，且点$E$、$B\left(D\right)$、$C$在同一条直线上.其中$\angle E=90^{\circ}$，$\angle EDF=30^{\circ}$，$AB=DE=6\sqrt{3}$，现将$\triangle DEF$沿直线$BC$以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移，直至$E$点与$C$点重合时停止运动，设运动时间为$t$秒.$(1)$试求出在平移过程中，点$F$落在$\triangle ABC$的边上时的$t$值；$(2)$试求出在平移过程中$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$重叠部分的面积$S$与$t$的函数关系式.","title_text":"已知等边$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$按如图所示的位置放置，点$B$、$D$重合，且点$E$、$B\left(D\right)$、$C$在同一条直线上.其中$\angle E=90^{\circ}$，$\angle EDF=30^{\circ}$，$AB=DE=6\sqrt{3}$，现将$\triangle DEF$沿直线$BC$以每秒$\sqrt{3}$个单位向右平移，直至$E$点与$C$点重合时停止运动，设运动时间为$t$秒.$(1)$试求出在平移过程中，点$F$落在$\triangle ABC$的边上时的$t$值；$(2)$试求出在平移过程中$\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$重叠部分的面积$S$与$t$的函数关系式.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

$(1)$当$F$在边$AB$上时，如图$1$，作$AMbot BC$。

则$AM=frac{sqrt{3}}{2}AB=frac{sqrt{3}}{2}×6sqrt{3}=9$$because AMbot BC$，$angle FEB=90^{circ}$$therefore EF$∥$AM$$therefore triangle BEF$∽$triangle BMA$$therefore frac{BE}{BM}=frac{EF}{AM}$，即$frac{BE}{3sqrt{3}}=frac{6}{9}$。

解得$BE=2sqrt{3}$，则移动的距离为：$6sqrt{3}+2sqrt{3}=8sqrt{3}$，则$t=frac{8sqrt{3}}{sqrt{3}}=8$当$F$在$AC$上时。

如图$2$同理可得，$EC=2sqrt{3}$，则移动的距离为$2times 6sqrt{3}-2sqrt{3}=12sqrt{3}-2sqrt{3}=10sqrt{3}$。

则$t=frac{10sqrt{3}}{sqrt{3}}=10$，故$t$的值为：$8$秒或$10$秒$(2)$当$0 lt tleqslant 6$时，重合部分是$triangle BND$。

如图$3$，设$AB$与$BE$交于点$N$，则$BD=sqrt{3}t$。

$NB$$=frac{1}{2}$$BD=frac{sqrt{3}}{2}t$，$ND=frac{sqrt{3}}{2}BD=frac{sqrt{3}}{2}times sqrt{3}t=frac{3}{2}t$，$S=frac{1}{2}NBcdot ND=frac{1}{2}times frac{sqrt{3}}{2}ttimes frac{3}{2}$$t$$=frac{3sqrt{3}}{8}t^{2}$；当$6 lt tleqslant 8$时。

重合部分是五边形$MNQCE$，如图$4$，则$S=$$S$$_{triangle EFD}-S_{triangle MNF}-$$S$$_{triangle CQD}$$=18sqrt{3}-frac{1}{2}×frac{1}{2}times left(24-3tright)times frac{sqrt{3}}{2}left(24-3tright)-frac{1}{2}(sqrt{3}t-6sqrt{3})=-frac{15sqrt{3}}{8}t^{2}+27sqrt{3}t-81sqrt{3}$；当$8 lt t lt 10$时。

重叠部分是四边形$EFMC$，如图$5$，则$S=S_{triangle EDF}-S_{triangle CDM}=18sqrt{3}-frac{1}{2}(sqrt{3}t-6sqrt{3})times frac{sqrt{3}}{2}times (sqrt{3}t-6sqrt{3})=-frac{3sqrt{3}}{4}t^{2}+9sqrt{3}t-9sqrt{3}$；当$10leqslant t lt 12$时。

重合部分是$triangle MCE$，如图$6$，$ S=frac{1}{2}[6sqrt{3}-(sqrt{3}t-6sqrt{3})]times sqrt{3}times [6sqrt{3}-(sqrt{3}t-6sqrt{3})]=frac{3sqrt{3}}{2}t^{2}-36sqrt{3}t+216sqrt{3}$.综上所述。

$S=left{begin{array}{l}{frac{3sqrt{3}}{8}{t}^{2}(0＜t≤6)}{-frac{15sqrt{3}}{8}{t}^{2}+27sqrt{3}t-81sqrt{3}(6＜t≤8)}{-frac{3sqrt{3}}{4}{t}^{2}+9sqrt{3}t-9sqrt{3}(8＜t＜10)}{frac{3sqrt{3}}{2}{t}^{2}-36sqrt{3}t+216sqrt{3}(10≤t＜12)}{{}^{}}end{array}right.$.。

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